Критерий Краскела–Уоллиса

Критерий Краскела–Уоллиса проверяет, различаются ли три группы и больше, и сравнивает их по рангам, то есть по местам в общем ряду. Это ранговая замена однофакторного дисперсионного анализа, и работает она там, где ANOVA спотыкается: на оценках по шкале, перекошенных данных и выбросах.

В программах его часто подписывают как H-тест, по букве статистики. Метод описали Уильям Краскел и Аллен Уоллис, их статья вышла в журнале Американской статистической ассоциации в 1952 году. Это тот же критерий Манна–Уитни, только для любого числа групп: на двух группах оба дают практически одинаковый p.

Если разница нашлась, её адрес ищут попарными сравнениями с поправкой на число пар.

Когда нужен Краскел–Уоллис

Метод сравнивает независимые группы: филиалы, тарифы, каналы обращения, возрастные категории. ANOVA делает то же через средние и рассчитывает на нормальное распределение внутри каждой группы. Рангам это не нужно, поэтому Краскел–Уоллис надёжнее в трёх случаях.

• Ответы по шкале. Оценка «4» лучше «3», но насколько, шкала не говорит, и среднее по таким числам спорно. Порядок при этом есть всегда.
• Длинный хвост или крайние значения. Одна единица среди девяток заметно тянет среднее вниз, а в общем ряду она всего лишь первая.
• Десяток ответов в группе. На таких числах нормальность не проверить: критерий Шапиро–Уилка почти ничего не видит.

Если одних и тех же людей спрашивают три раза и больше, например до изменений, сразу после и через месяц, нужен другой критерий, Фридмана: группы там связанные.

Как считается H

Пример: 45 клиентов оценили работу поддержки от 1 до 10. Шестнадцать писали в чат, четырнадцать звонили, пятнадцать обращались по почте.

Медианы 8, 7 и 6, но группы сильно перекрываются: семёрки и восьмёрки ставили во всех трёх каналах. Похоже ли это на случайность, решает тест.

Сначала про группы забывают: все 45 оценок ставят в общий ряд по возрастанию, и у каждой появляется место, ранг. Одинаковые оценки делят места поровну: восьмёрок в ряду 12, они занимают места с 29-го по 40-е, и каждая получает ранг 34,5. Потом для каждой группы считают средний ранг.

У чата средний ранг 29,2, у телефона 24,6, у почты 15. Если бы канал ни на что не влиял, все три держались бы около общего среднего (45 + 1) ÷ 2 = 23. H измеряет, насколько далеко они разошлись:

H = 12 ÷ (N × (N + 1)) × Σ (R_i² ÷ n_i) − 3 × (N + 1), где N это все ответы, R_i сумма рангов группы, n_i её размер.

Суммы рангов в примере 466,5, 344 и 224,5, отсюда H = 12 ÷ (45 × 46) × (466,5² ÷ 16 + 344² ÷ 14 + 224,5² ÷ 15) − 3 × 46 = 9,33. Одинаковых оценок много, поэтому H ещё делят на поправку на совпадения и получают 9,73. Статистические программы делают это сами.

Чтобы получить p, H сверяют с распределением хи-квадрат, у которого степеней свободы на одну меньше, чем групп. Для трёх групп порог на уровне 0,05 равен 5,99, у нас 9,73, и p = 0,008. Приближение работает, когда в каждой группе хотя бы пять ответов, для совсем маленьких групп есть таблицы точных значений.

Как читать результат

• p-value. p = 0,008 значит: если бы каналы не различались, такой разброс средних рангов выпадал бы реже чем в 1% случаев. Значимый H говорит, что хотя бы одна группа отличается от остальных, но не называет какая.
• Размер эффекта. Его считают как η²[H] = (H − k + 1) ÷ (N − k), где k число групп. В примере (9,73 − 3 + 1) ÷ (45 − 3) = 0,18. По условным границам Коэна 0,01 это мало, 0,06 средне, от 0,14 много, так что разница крупная. Про другие меры подробнее в карточке о размере эффекта.
• Медианы рядом с H. Команде понятнее «в чате медиана 8, на почте 6» и график с точками, чем H = 9,73.

На этих данных ANOVA тоже находит разницу, p = 0,009: крайних оценок почти нет, и оба критерия согласны. Расходятся они там, где есть перекос или выбросы.

Что делать, если разница нашлась

Какие именно каналы различаются, покажут попарные сравнения. Обычно берут тест Данна: он работает на тех же рангах. Каждый p умножают на число пар: это поправка Бонферрони, без неё случайные «находки» копятся.

Пара	p	p × 3
Чат и почта	0,002	0,006
Телефон и почта	0,044	0,13
Чат и телефон	0,33	0,99

Уверенно различаются только чат и почта. Без поправки в отчёт попала бы ещё и разница телефона с почтой, а она вполне может оказаться случайной.

Почему не сравнить все пары сразу, минуя общий тест? Мы взяли группы из одного и того же распределения, то есть заведомо без разницы, и проверили каждую пару отдельным ранговым тестом.

При трёх группах хотя бы одна «значимая» пара нашлась в 12% симуляций, при пяти в 30%, при шести в 38%. Один общий тест держался около 5% при любом числе групп, как и положено на уровне значимости 0,05. Поправка Бонферрони тоже возвращает попарные сравнения к этим 5%, но чем больше пар, тем она строже и тем легче пропустить настоящую разницу. Обычная схема: сначала общий тест, и только если он значим, пары с поправкой.

Чего H не показывает

• Какая группа выделяется. H один на все группы сразу, адрес разницы он не называет.
• Порядок групп. Стаж до года, от года до трёх, больше трёх лет: если ждут роста от группы к группе, Краскел–Уоллис этого не учтёт. Для такой проверки чувствительнее критерий тенденций Джонкира–Терпстры.
• Разницу медиан. H говорит, что ранги одних групп выше, чем у других. Медианами это можно назвать, только если распределения похожи по форме.
• Причины. Почему почтой довольны меньше, подскажут открытые ответы.

Частые ошибки

• Все пары сравнивают сразу, без общего теста и поправки. При пяти группах ложная разница всплывает почти в каждом третьем таком исследовании.
• Одних и тех же людей считают разными группами. Если каждый респондент оценил три варианта сам, группы связанные, и нужен критерий Фридмана.
• Три-четыре ответа в группе. Приближение хи-квадрат рассчитано на пять ответов и больше, да и мощности на таких числах почти нет.
• Отчёт из одной строки «H = 9,73, p = 0,008». Без размера эффекта и сравнения пар команда не поймёт, что с этим делать.

Как это сделано в WebAsk

В WebAsk H не считается, это делают в статистической программе. Опрос даёт для расчёта всё нужное: вопрос с оценкой и вопрос-разрез с тремя вариантами и больше, например «Как вы обращались в поддержку?». Фильтр по разрезу в отчёте покажет, как распределились оценки в каждой группе, а сырые ответы забирают выгрузкой в XLSX, CSV или SPSS.

• SPSS. Analyze → Nonparametric Tests → Independent Samples. Там же включаются сравнения пар, скорректированный p стоит в столбце Adj. Sig.
• R. Функция kruskal.test, ей передают формулу вида «оценка ~ канал».
• Python. Функция scipy.stats.kruskal: ответы каждой группы идут отдельным списком, поправку на совпадения она вносит сама.

Автопоиск значимых различий между сегментами WebAsk сравнивает средние. Если сегментов три и больше, а шкала порядковая, найденную разницу стоит перепроверить Краскелом–Уоллисом.

Коротко

• Критерий Краскела–Уоллиса сравнивает по рангам три и больше независимых групп, нормальность ему не нужна.
• Годится для оценок по шкале, перекошенных данных и маленьких групп.
• H показывает, насколько средние ранги групп разошлись с общим средним. Его сравнивают с хи-квадрат с числом степеней свободы на одну меньше числа групп.
• Значимый H говорит, что какая-то группа отличается, но не какая. Это покажут сравнения пар с поправкой.
• Для повторных замеров на тех же людях есть критерий Фридмана.
• Рядом с H и p показывают медианы и размер эффекта.

Двумерный анализ: что это, примеры, методы и подходы проведения Какой график строить под каждый тип вопроса анкеты

Вопросы и ответы

Что такое критерий Краскела–Уоллиса?

Это непараметрический тест для трёх и больше независимых групп. Все значения он переводит в места общего ряда и проверяет, не оказываются ли одни группы систематически выше других. Его берут для оценок по шкале и данных с перекосом или выбросами, нормальности он не требует.

Когда применять критерий Краскела–Уоллиса вместо дисперсионного анализа?

Если ответы порядковые (оценки от 1 до 10, «редко, иногда, часто»), если в данных перекос или выбросы, если в группах по десятку ответов. На больших группах с числовыми данными без выбросов ANOVA работает не хуже и показывает разницу средних в рублях или минутах.

Как рассчитать H-критерий Краскела–Уоллиса?

Все значения из всех групп сортируют по возрастанию и нумеруют местами, при совпадениях каждому достаётся среднее место. Затем для каждой группы суммируют ранги и подставляют суммы в формулу H = 12 ÷ (N × (N + 1)) × Σ (R² ÷ n) − 3 × (N + 1). Если одинаковых значений много, H делят на поправку на совпадения, программы делают это сами.

Что делать, если критерий Краскела–Уоллиса показал значимую разницу?

Провести попарные сравнения, например тестом Данна, и поправить p на число пар методом Бонферрони или Холма. Значимый H говорит только, что какая-то группа отличается, а какая именно, показывают эти сравнения.

Что показывает H в критерии Краскела–Уоллиса?

H показывает, насколько средние ранги групп разошлись с общим средним рангом, с весом по размеру групп. Если разницы нет, H в среднем близок к числу групп минус один, у трёх групп это 2. Чем H больше, тем меньше p, для трёх групп порог значимости на уровне 0,05 равен 5,99.

Сколько нужно наблюдений для критерия Краскела–Уоллиса?

Обычное правило: приближение хи-квадрат работает от пяти наблюдений в группе, для меньших групп p берут из таблиц точных значений. Но минимум для расчёта и объём для вывода не одно и то же: умеренную разницу видно только на десятках ответов в каждой группе, а на трёх-пяти тест почти всегда промолчит.

Как посчитать критерий Краскела–Уоллиса?

Проще всего в статистической программе: в SPSS пункт Nonparametric Tests → Independent Samples, в R функция kruskal.test, в Python scipy.stats.kruskal. В Excel готовой функции нет, H придётся считать по формуле вручную. Данные опроса WebAsk отдаёт выгрузкой в XLSX или CSV.