V Крамера (Cramér's V)

V Крамера это мера силы связи между двумя категориальными признаками, приведённая к шкале от 0 до 1. Она отвечает на вопрос, который остаётся после теста значимости: связь есть, но насколько она сильная.

Ориентиры для чтения значений и готовый пример расчёта есть в разборе Хи-квадрат по данным опроса. Здесь про саму меру.

Что показывает V Крамера

Мера считается из хи-квадрата и числа наблюдений:

V = √( χ² / (N × min(r − 1, c − 1)) ), где N это число респондентов, r число строк таблицы, c число столбцов. В N идут люди, а не ответы: в вопросе с мультивыбором ответов больше, чем участников, и на таких данных ломается уже сам хи-квадрат.

Смысл делителя в нормировке. Само значение хи-квадрата растёт вместе с выборкой: удвойте число ответов, не тронув пропорций, и критерий удвоится, хотя связь останется той же. Поэтому по нему нельзя сказать, сильная связь или слабая, и нельзя сравнить две таблицы между собой. Величина N × min(r − 1, c − 1) это максимум, которого хи-квадрат может достичь на таблице такого размера при таком количестве ответов. Деление на неё превращает критерий в долю от этого максимума, а корень возвращает значение к масштабу коэффициента корреляции.

Итог простой: 0 означает, что связи в таблице нет совсем, 1 означает жёсткую связь, когда по одному признаку можно однозначно предсказать другой. Всё остальное лежит между.

С единицей есть тонкость. Нормировка идёт на теоретический максимум, а достижим он только при подходящих итогах таблицы. Если строки разошлись пополам, а столбцы в пропорции 80 на 20, то даже самая связанная таблица из возможных даст V = 0,5, и выше значение не поднимется. Поэтому V разных волн исследования сопоставимы, пока структура выборки держится, и перестают быть сопоставимыми, когда итоги заметно разъехались.

Отсюда же следует, что мера наследует требования хи-квадрата: независимые наблюдения и не слишком мелкие ожидаемые частоты. Если критерий на этих данных считать нельзя, то и V окажется просто числом.

Откуда взялось название

Меру предложил швед Харальд Крамер в 1946 году в книге «Математические методы статистики», поэтому в английских текстах она обозначается Cramér's V, а иногда φc. Буква V здесь просто обозначение, никакой расшифровки за ней нет. В русских текстах встречаются варианты «коэффициент Крамера» и «критерий Крамера», но второй сбивает с толку: это не тест и никакой гипотезы она не проверяет, значимость остаётся за хи-квадратом.

Три меры силы связи в таблице

Из хи-квадрата выводится не одна мера, а несколько, и они плохо взаимозаменяемы.

• Фи (φ). Отношение хи-квадрата к числу респондентов, под корнем. Работает только на таблице 2×2, и на ней V Крамера равна модулю фи, потому что при r = c = 2 множитель min(r − 1, c − 1) обращается в единицу. Разница в знаке: у фи он есть, а V всегда положительна.
• V Крамера. Работает на таблице любого размера и всегда лежит в диапазоне от 0 до 1. Рабочий выбор по умолчанию.
• Коэффициент сопряжённости C Пирсона. Тоже считается из хи-квадрата, но до единицы не дотягивается никогда: считается как корень из отношения критерия к сумме критерия и числа респондентов, а потолок у него равен корню из (k − 1) / k, где k это меньшая сторона таблицы: 0,71 на 2×2, 0,82 на 3×3, 0,87 на 4×4. Значения с разных таблиц поэтому не сопоставимы, и сегодня меру берут редко.

Чего V Крамера не показывает

• Направления связи в ней нет. Значение всегда положительное, знака у него не бывает. Сказать «связь обратная» по V нельзя, в отличие от коэффициента корреляции, где знак несёт половину смысла. Чтобы понять, какая группа отвечает иначе, смотрят на саму таблицу сопряжённости и доли по строкам. Мера ещё и симметрична: она не различает «пол объясняет канал» и «канал объясняет пол», а для такой постановки есть направленные меры вроде лямбды Гудмена-Крускала.
• Значимость она не заменяет. V = 0,3 на выборке из тридцати человек это шум, на выборке из трёх тысяч это находка. Поэтому меру приводят рядом с p-значением, а не вместо него, а саму значимость проверяют хи-квадратом, на мелких частотах точным тестом Фишера.
• Это не доля объяснённой дисперсии. V = 0,4 не означает, что один признак объясняет 40% другого, в отличие от коэффициента детерминации R² в регрессии. На таблицах больше 2×2 процентной трактовки у неё нет вовсе. Исключение только 2×2: там квадрат значения совпадает с R² для двух бинарных признаков.
• Порядок категорий она игнорирует. Мера рассчитана на номинальные признаки. Если варианты упорядочены, как в шкале Лайкерта, часть информации теряется, и связь точнее опишут тау-b Кендалла или гамма, а на неквадратных таблицах вроде «пять пунктов шкалы против трёх сегментов» тау-c Стюарта.
• На малых выборках она завышена. Причём дело не в размере выборки самом по себе, а в его отношении к размеру таблицы: на 2×2 смещение почти незаметно, а на таблице 5×5 при сотне ответов уже существенно. Для таких случаев есть версия с поправкой на смещение, её предложил Бергсма в 2013 году.

Как читать значение

Единой таблицы порогов не существует, и это главная тонкость. Ходовые ориентиры вида «0,1 это слабая связь» выведены для таблиц с двумя строками, а на таблице побольше то же значение говорит уже о более сильной связи, поэтому пороги пересчитывают с поправкой на размер. Готовые ориентиры с числами и отчётная строка есть в статье про хи-квадрат.

Пример для масштаба: если на таблице 2×3 получилось χ² = 12,0 при 200 респондентах, то V = √(12 / 200) = 0,245, потому что меньшая сторона здесь равна единице. И помните, что у самой V есть погрешность: на выборках в пару сотен человек разница между 0,28 и 0,33 в двух волнах вполне может быть случайной, а оценить разброс помогает доверительный интервал, который считают бутстрэпом.

Практика проще правил. V сравнивают не с абстрактной шкалой, а с прошлой волной того же исследования, с другим сегментом или с другим драйвером в том же наборе данных. Вопрос «сильная ли это связь по учебнику» почти никогда не бывает рабочим, а вопрос «стала связь сильнее или слабее, чем в прошлом квартале» бывает всегда.

V Крамера и соседние показатели

Показатель	Что говорит	Диапазон
Хи-квадрат	велико ли расхождение с таблицей без связи	от 0, потолок растёт с выборкой
P-значение	можно ли списать расхождение на случайность	от 0 до 1
V Крамера	насколько сильна связь	от 0 до 1
Фи	сила и направление связи в таблице 2×2	от минус 1 до 1
C Пирсона	сила связи со сдвинутым потолком	от 0 до 0,71 и выше по размеру
Тау-b Кендалла	сила и направление связи упорядоченных категорий	от минус 1 до 1 на квадратных таблицах
Корреляция Пирсона	сила и направление линейной связи чисел	от минус 1 до 1

Хи-квадрат и V Крамера работают в паре и отвечают на разные вопросы: первый на «бывает ли такое случайно», вторая на «насколько это много». Общая логика, зачем вообще смотреть на величину эффекта рядом со значимостью, описана в карточке про размер эффекта.

Как это сделано в WebAsk

Всё, что нужно для расчёта, это таблица частот, собранная из выгрузки ответов в Excel или CSV. Калькулятор хи-квадрата вернёт значение критерия, степени свободы и p, а V считается из них по формуле выше в одну строку. Если таблица именно 2×2 и показатель идёт в отчёт, часто удобнее отношение шансов: оно прямо говорит, во сколько раз выше шансы события в одной группе против другой.

Посмотреть на свою таблицу можно бесплатно: конструктор WebAsk соберёт ответы и отдаст выгрузку, из которой считаются и критерий, и мера связи.

Частые вопросы

Что показывает V Крамера простыми словами?

Насколько сильно два категориальных признака связаны между собой, по шкале от 0 до 1. Ноль означает, что распределение ответов в каждой группе одинаковое, единица означает, что по одному признаку можно точно предсказать другой. В отличие от хи-квадрата значение не разбухает вместе с выборкой, поэтому его можно сравнивать между исследованиями, если таблицы одного размера.

Как посчитать V Крамера?

Взять хи-квадрат, разделить его на произведение числа респондентов и меньшей стороны таблицы минус один, из результата извлечь корень. Меньшая сторона это та из двух сторон таблицы, которая короче, тоже уменьшенная на единицу. Для таблицы 2×2 множитель равен единице, и формула упрощается до корня из отношения критерия к числу респондентов.

Чем V Крамера отличается от коэффициента корреляции?

Корреляция работает с числами и показывает не только силу, но и направление связи, поэтому лежит в диапазоне от минус единицы до единицы. V Крамера работает с категориями, где направления просто не существует: нельзя сказать, что «Москва больше, чем Казань». Поэтому значение всегда положительное, а куда именно сдвинуты ответы, смотрят по таблице.

Какое значение V Крамера считается высоким?

Универсального порога нет: ориентиры зависят от размера таблицы, и одно и то же значение на таблице 2×2 и на 4×5 говорит о разной силе связи. Готовая шкала с числами есть в статье про хи-квадрат. Практичнее же сравнивать V не с учебной шкалой, а с прошлой волной исследования или с другими драйверами в том же наборе данных.

V Крамера и фи это одно и то же?

На таблице 2×2 да, значения совпадают, потому что множитель нормировки там равен единице. На таблицах большего размера фи не применяется вовсе, а V продолжает работать. Проще считать фи частным случаем, а не отдельной мерой.

Можно ли сравнивать V Крамера между двумя разными опросами?

Можно, но при двух условиях. Таблицы должны быть одного размера, иначе значения означают разную силу связи. И структура выборки не должна сильно разъезжаться: потолок, до которого мера вообще способна дотянуться, зависит от итогов таблицы. Плюс помните про погрешность: разница 0,28 против 0,33 на выборках в пару сотен человек чаще всего не значит ничего.

Нужно ли считать V Крамера, если p больше 0,05?

Считать стоит всегда, размер эффекта приводят независимо от значимости. Но читать его надо с поправкой на объём: V = 0,3 на выборке из тридцати человек почти не отличается от того, что даёт чистая случайность, и такой результат означает «данных не хватило», а не «связь слабая». Обратная ситуация тоже частая: значимый результат без размера эффекта на больших выборках выглядит важнее, чем есть.