Коэффициент корреляции Пирсона простыми словами

Когда в данных две величины меняются вместе, хочется понять, насколько тесно они связаны. Клиенты, которые выше оценили скорость поддержки, чаще готовы рекомендовать компанию? Чем больше стаж сотрудника, тем выше вовлечённость?

Ответить на такие вопросы одним числом помогает коэффициент корреляции Пирсона. Он показывает, насколько сильно и в какую сторону связаны два показателя.

Что показывает коэффициент r

Коэффициент Пирсона обозначают буквой r. Это число в диапазоне от минус единицы до плюс единицы, и в нём зашито сразу два смысла: направление связи и её сила.

Направление задаёт знак. Плюс означает, что величины растут вместе: выше одна, выше и другая. Минус означает обратную связь, когда одна растёт, а другая падает. Сила связи спрятана в модуле числа: чем ближе r к единице по любую сторону от нуля, тем плотнее точки жмутся к прямой линии. Значение около нуля говорит, что линейной связи нет.

Грубый ориентир для чтения силы (его называют шкалой Чеддока): до 0,3 связь слабая, от 0,3 до 0,5 умеренная, от 0,5 до 0,7 заметная, от 0,7 до 0,9 высокая, выше 0,9 очень высокая. Это подсказка, а не закон: в разных областях пороги трактуют по-своему.

Формула

Пирсон сравнивает, как две величины отклоняются от своих средних. Когда отклонения совпадают по знаку (обе точки выше среднего или обе ниже), связь тянет в плюс; когда противоположны, в минус. Для ручного счёта удобна вычислительная форма формулы, где нужны только суммы:

r = [ n·Σxy - Σx·Σy ] / √( [n·Σx² - (Σx)²] · [n·Σy² - (Σy)²] )

Здесь n это число пар значений, x и y два наших показателя. Выглядит громоздко, но на практике всё сводится к пяти суммам, которые легко собрать в таблице.

Как посчитать вручную: разбор на примере

Возьмём маленький опрос. Восемь клиентов оценили скорость ответа поддержки по шкале от 1 до 10 (обозначим X) и отдельно поставили готовность рекомендовать компанию от 0 до 10 (это Y). Проверим, связаны ли эти оценки.

Клиент	1	2	3	4	5	6	7	8
X, скорость	3	5	6	7	8	9	9	10
Y, рекомендация	4	5	7	6	8	9	8	10

Считаем пять сумм по всем восьми парам: сумма X равна 57, сумма Y равна 57, сумма произведений XY равна 438, сумма квадратов X равна 445, сумма квадратов Y равна 435. Число пар n равно 8.

Подставляем в формулу. Числитель: 8·438 - 57·57 = 3504 - 3249 = 255. Знаменатель: корень из произведения (8·445 - 57²) и (8·435 - 57²), то есть корень из 311·231, примерно 268. Делим: r = 255 / 268 ≈ 0,95.

Получилось 0,95, очень высокая положительная связь. Клиенты, которым отвечали быстрее, заметно чаще готовы рекомендовать компанию. Это число можно возвести в квадрат: r² ≈ 0,90 означает, что около 90% разброса в готовности рекомендовать объясняется разбросом в оценке скорости (в рамках этой выборки).

Онлайн-калькулятор корреляции Пирсона

Чтобы не считать руками, вставьте два своих ряда чисел (по одному значению в строке или через запятую) и нажмите кнопку. Калькулятор посчитает r, r² и подскажет силу связи. Ряды должны быть одной длины: каждое значение X в паре со своим Y.

Полноценный калькулятор с интерпретацией и примерами есть в наших инструментах: калькулятор корреляции Пирсона. Тот же расчёт делает и функция ПИРСОН в Excel или Google Таблицах.

Как читать результат

Сначала смотрим на знак и модуль по шкале выше: он говорит, куда и насколько тесно связаны величины. Дальше полезно возвести r в квадрат. Коэффициент детерминации r² показывает долю разброса одной величины, которую объясняет вторая. При r = 0,95 это 0,90, то есть девять десятых вариации связаны, а десятая приходится на прочие факторы.

И обязательно держите в голове размер выборки. На нескольких точках даже большой r легко получить случайно, поэтому серьёзные выводы делают с оглядкой на объём данных и статистическую значимость. Как прикинуть достаточный размер выборки, разобрано в материале про размер выборки и доверительный интервал.

Сначала посмотрите на данные глазами

Прежде чем доверять коэффициенту, постройте диаграмму рассеяния: по одной оси X, по другой Y, каждая пара ответов это точка. Облако точек показывает то, что одно число скрыть не в силах: форму связи, разброс и подозрительные выбросы. Точки вытянулись узкой полосой вдоль прямой, значит r будет высоким; лежат бесформенным облаком, значит около нуля.

На четырёх графиках выше одно и то же понятие связи выглядит совсем по-разному. Слева вверху сильная прямая связь, точки почти на линии. Справа вверху обратная, линия идёт вниз. Слева внизу связи нет, облако бесформенное. А справа внизу самый коварный случай: точки лежат чёткой дугой, зависимость очевидна на глаз, но Пирсон покажет около нуля, потому что умеет измерять только прямую. Поэтому опытные аналитики сначала строят диаграмму рассеяния и только потом смотрят на коэффициент.

Где корреляция вводит в заблуждение

Коэффициент Пирсона мощный, но у него есть четыре ловушки, о которых забывают чаще всего.

• Корреляция это не причинность. Летом растут и продажи мороженого, и число тепловых ударов. Связь между ними высокая, но одно не вызывает другое, их обоих гонит жара. Высокий r говорит, что величины движутся вместе, а не что одна управляет другой.
• Выбросы. Одна аномальная точка способна вздуть коэффициент почти до единицы или, наоборот, обнулить его. Перед расчётом стоит посмотреть на данные глазами и на диаграмму рассеяния, чтобы поймать такие точки.
• Нелинейность. Пирсон ловит только прямую линию. Если связь есть, но она изгибается дугой, коэффициент покажет около нуля, хотя зависимость очевидна. На картинке выше это нижний правый график: точки лежат идеальной дугой, а r близок к нулю.
• Тип шкалы. Пирсон рассчитан на числовые метрические данные (баллы, суммы, проценты). Для порядковых ответов вроде «полностью согласен, скорее согласен, скорее нет» берут ранговый коэффициент Спирмена, он работает с порядком, а не с расстоянием между значениями.

Зачем корреляция в опросах

В аналитике опросов Пирсон помогает проверить гипотезы о связи между ответами. Растёт ли готовность рекомендовать вместе с оценкой доставки. Падает ли вероятность оттока при более высокой оценке поддержки. Связан ли стаж сотрудника с вовлечённостью. Это классический инструмент двумерного анализа, когда мы смотрим на два признака сразу, и удобная опора для более глубоких методов вроде факторных исследований.

Важно только помнить порядок работы: сначала чистое описание данных и взгляд на распределения (об этом есть разбор про дескриптивный анализ), потом корреляция как проверка связи, и лишь затем осторожные выводы с оглядкой на выборку. Прогонять корреляцию на грязных или крошечных данных значит собирать красивые числа без смысла.

Как это сделано в WebAsk

Чтобы посчитать корреляцию, сначала нужны сами данные: два показателя, измеренные у одних и тех же респондентов. В WebAsk это собирается обычным опросом со шкальными вопросами: например, оценка скорости поддержки и вопрос о готовности рекомендовать в одной анкете. Ответы выгружаются в CSV или Excel, дальше два столбца подставляются в калькулятор выше или в функцию ПИРСОН в таблице.

Собрать такой опрос и получить ответы можно бесплатно: загляните в конструктор опросов WebAsk, соберите две шкалы в одной анкете и проверьте на своих клиентах, какие оценки на самом деле связаны между собой.

Частые вопросы

Чем корреляция отличается от причинности?

Корреляция говорит, что две величины меняются согласованно. Причинность означает, что одна вызывает другую. Высокий коэффициент не доказывает причину: связь может держаться на третьем, скрытом факторе, который влияет на оба показателя сразу. Поэтому корреляция это повод копать дальше, а не готовый вывод.

Какое значение r считать хорошим?

Универсального порога нет, всё зависит от области. Грубый ориентир по шкале Чеддока: выше 0,7 связь высокая, 0,5–0,7 заметная, ниже 0,3 слабая. В точных измерениях ждут значений ближе к единице, а в социальных данных и 0,4 бывает содержательным результатом. Смотрите на r вместе с размером выборки и здравым смыслом.

Пирсон или Спирмен: что выбрать?

Пирсон подходит для числовых метрических данных и ловит линейную связь. Спирмен работает с порядковыми данными и рангами и не требует, чтобы связь была строго прямой. Если у вас баллы и суммы, берите Пирсона; если ответы это порядок категорий или в данных есть выбросы, надёжнее Спирмен.

Что показывает r в квадрате?

Коэффициент детерминации r² это доля разброса одной величины, которую объясняет вторая. При r = 0,8 получится 0,64, то есть около 64% вариации связаны, а остальное приходится на другие причины. Это удобный способ перевести абстрактный коэффициент в понятную долю.

Сколько данных нужно для корреляции?

Формально хватает трёх пар, но на таком объёме число ничего не значит: коэффициент скачет от случайности. Для осмысленного вывода нужны хотя бы несколько десятков наблюдений, а лучше больше, и обязательно проверка значимости. Чем меньше выборка, тем осторожнее трактовка.

Можно ли считать корреляцию по ответам опроса?

Да, если ответы измерены в числовой шкале (например, оценки от 0 до 10). Соберите два шкальных вопроса в одной анкете, выгрузите ответы в таблицу и подставьте два столбца в калькулятор или функцию ПИРСОН. Для ответов в виде порядковых категорий используйте коэффициент Спирмена.