Перцентили и квартили (percentiles, quartiles)

Перцентиль это значение, ниже которого лежит заданная доля наблюдений: P90 равен числу, которое не превышают девять из десяти ответов. Квартили это частный случай, они режут упорядоченный ряд на четыре равные части.

Что такое перцентиль и квартиль

Данные сортируют по возрастанию и смотрят, какое значение стоит на нужной доле пути. P25 отсекает первую четверть наблюдений, P50 делит ряд пополам и совпадает с медианой, P75 отсекает три четверти. Эти три точки и называют квартилями, Q1, Q2 и Q3.

Названия зависят только от числа частей: квартили делят на 4, квинтили на 5, децили на 10, перцентили на 100. Слова «процентиль» и «перцентиль» означают одно и то же, это разные способы перевести английское percentile.

Главная терминологическая ловушка вот в чём: перцентиль это значение, а не доля. Фраза «время ответа P90 равно 58 секундам» означает, что 90% замеров быстрее 58 секунд. Она не означает, что «90% это перцентиль» или что мы уложились в норму на 90%. Сама доля, наоборот, называется перцентильным рангом.

Название	На сколько частей делит	Где обычно встречается
Медиана	на 2	любой отчёт рядом со средним
Терциль	на 3	деление аудитории на низкую, среднюю и высокую группу
Квартиль	на 4	боксплоты, поиск выбросов, описание разброса
Квинтиль	на 5	социология и статистика доходов
Дециль	на 10	сегментация клиентской базы, RFM-подходы
Перцентиль	на 100	SLA, бенчмарки, тестирование

Перцентильный ранг: обратная задача

Иногда нужно не значение по доле, а доля по значению. Респондент прошёл тест на 78 баллов, и вопрос звучит так: сколько людей набрали меньше? Это и есть перцентильный ранг: доля наблюдений ниже данного значения, обычно с половиной равных ему.

Такой показатель встречается в отчётах по тестированию и в бенчмарках: «ваш филиал по времени обслуживания находится на 82-м перцентиле среди сети» означает, что 82% филиалов работают медленнее. Полезно помнить, что перцентильный ранг сжимает разницу на краях: между 95-м и 99-м рангом в исходных единицах может лежать пропасть, а между 45-м и 49-м почти ничего.

Почему на одних данных получаются разные перцентили

Это самая практичная часть темы и самая неочевидная. Единственного правильного способа посчитать перцентиль не существует, потому что нужное место обычно попадает между двумя наблюдениями, и способов разрешить эту неопределённость несколько.

На десяти замерах разброс ответов получается огромным. Метод ближайшего ранга просто берёт девятое значение и выдаёт 55. Функция ПЕРСЕНТИЛЬ.ВКЛ, которой Excel считает по умолчанию, интерполирует между девятым и десятым и выдаёт 58,5. Функция ПЕРСЕНТИЛЬ.ИСКЛ использует другую формулу позиции и выдаёт 86,5. Это не ошибка ни одного из них, это три разные договорённости.

В статистических пакетах вариантов ещё больше: в R функция quantile умеет девять типов расчёта, и по умолчанию работает седьмой, тот же, что в ПЕРСЕНТИЛЬ.ВКЛ. Отсюда два правила для работы. Первое: внутри одного отчёта считайте все перцентили одним инструментом, иначе цифры перестанут быть сопоставимыми. Второе: если показатель уходит в договор или в SLA, метод расчёта надо зафиксировать словами, а не подразумевать.

Сколько нужно данных

Чем ближе перцентиль к краю, тем больше наблюдений он требует. Чтобы у P90 вообще был смысл, нужно, чтобы выше него оказалось хоть сколько-то значений, а на десяти замерах туда попадает одно. Именно поэтому в примере выше методы разошлись так сильно: весь ответ определялся двумя последними числами.

Формально это ограничение видно даже в Excel. Функция ПЕРСЕНТИЛЬ.ИСКЛ отказывается считать P95, если наблюдений меньше девятнадцати: позиция выходит за пределы выборки, и вместо числа появляется ошибка. Практический ориентир такой: для P90 хотите иметь хотя бы несколько десятков наблюдений, для P95 сотню, а для P99 счёт идёт на тысячи. На малых данных вместо хвостовых перцентилей честнее показать сами крайние значения.

Квартили и разброс

Разница между третьим и первым квартилем называется межквартильным размахом, в ней лежит средняя половина наблюдений. Показатель устойчив к выбросам и используется для их поиска, а подробно он разобран в отдельной карточке про IQR, поэтому здесь ограничимся связкой: квартили это точки, межквартильный размах это расстояние между двумя из них.

Пара смежных показателей для полноты картины. Стандартное отклонение описывает разброс вокруг среднего и чувствительно к крайним значениям, а квартили описывают разброс через порядок и к ним равнодушны. Если же нужно сравнить разброс двух метрик с разными единицами, для этого есть коэффициент вариации. На симметричных данных оба показателя рассказывают одну историю, на скошенных расходятся, и тогда квартили ближе к тому, что человек видит в данных глазами.

Когда квартили вырождаются

На шкальных вопросах перцентили ведут себя иначе, чем на непрерывных величинах, и это регулярно удивляет. Возьмите двести ответов по пятибалльной шкале с типичным перекосом вверх: десять единиц, пятнадцать двоек, сорок пять троек, девяносто четвёрок и сорок пятёрок. Квартили получатся такими: Q1 равен 3, медиана 4, Q3 тоже 4, а межквартильный размах всего 1.

Формально всё правильно, но пользы мало: два квартиля из трёх слиплись на одном значении, и никакой картины распределения они не дают. Причина в том, что у шкалы Лайкерта всего пять возможных значений на двести ответов, поэтому границы четвертей неизбежно попадают в одну и ту же градацию. Для таких данных информативнее прямое распределение по вариантам и доля крайних ответов, а не квартили.

Перцентили и нормальное распределение

Если данные близки к нормальному распределению, перцентили можно перевести в стандартные отклонения и обратно. Девяностый перцентиль лежит примерно на 1,28 отклонения выше среднего, девяносто пятый на 1,645. Это удобно для прикидки: зная среднее и отклонение, вы примерно представляете, где будет хвост, ещё до расчёта.

Работает это только при симметричном распределении, а опросные и временные метрики почти всегда скошены вправо. Поэтому оценка через отклонения годится для проверки порядка величин, а в отчёт идут перцентили, посчитанные по самим данным.

Где это пригодится в опросах

• Длина анкеты. Среднее время прохождения обманчиво: его тянут вверх те, кто открыл анкету и ушёл пить чай. P50 показывает, сколько времени тратит обычный респондент, а P90 сколько занимает у самых медленных.
• Отсев небрежных ответов. Нижние перцентили времени прохождения помогают найти тех, кто пролистал анкету не читая. Порог по P5 или P10 удобнее фиксированной цифры в секундах, потому что подстраивается под длину именно вашей анкеты.
• Сегментация по метрике. Деление базы на децили по сумме покупок или по числу обращений даёт готовые группы для сравнения ответов, и границы при этом определяются данными, а не выбираются на глаз.

Чего перцентили не показывают

• Ничего о том, что внутри интервала. Между P50 и P75 может быть ровное заполнение, а может быть пустота и скучивание у границы, и по самим перцентилям это не различить.
• Ничего о среднем. Медиана и среднее отвечают на разные вопросы, и на скошенных данных расходятся сильно. Показывать в отчёте стоит оба.
• Устойчивости в хвостах. P50 меняется от волны к волне мало, а P95 может прыгать заметно, потому что зависит от единичных наблюдений.
• Сопоставимости между инструментами. Пока не зафиксирован метод расчёта, перцентили из двух разных отчётов сравнивать нельзя.
• Причин. Перцентиль это описание, а не объяснение. Почему хвост длинный, придётся выяснять отдельно, обычно разрезав данные по сегментам.

Как это сделано в WebAsk

Данные для перцентилей дают числовые ответы и любые метрики, которые вы сопоставляете с опросом: время прохождения, суммы, число обращений. Ответы выгружаются в Excel или CSV, а столбец подставляется в калькулятор медианы и перцентилей: он вернёт медиану, квартили и нужные вам P90 или P95 сразу.

Если данные шкальные, начните не с квартилей, а с распределения по вариантам, и добавьте стандартное отклонение. Как эти показатели складываются в один отчёт, показано в карточке про описательную статистику, а разбор на живых данных есть в статье про дескриптивный анализ.

Собрать такие ответы можно бесплатно: заведите числовой вопрос в конструкторе WebAsk и посмотрите, где у вашей метрики лежит хвост.

Частые вопросы

Чем перцентиль отличается от процента?

Процент это доля, перцентиль это значение. Если 90% замеров быстрее 58 секунд, то 58 секунд это P90, а 90% это доля. Путаница возникает потому, что перцентиль называют по доле, но само число всегда в единицах данных: в секундах, рублях, баллах.

Перцентиль и процентиль это одно и то же?

Да, это два варианта перевода одного английского слова, и оба встречаются в русских текстах. Никакой смысловой разницы между ними нет, важно лишь не смешивать оба написания в одном отчёте.

Почему Excel и калькулятор дают разные перцентили?

Потому что нужная позиция обычно попадает между двумя наблюдениями, а способов её вычислить несколько. ПЕРСЕНТИЛЬ.ВКЛ и ПЕРСЕНТИЛЬ.ИСКЛ используют разные формулы позиции, метод ближайшего ранга не интерполирует вовсе. На десяти значениях P90 может получиться 55, 58,5 или 86,5, и все три ответа формально верны.

Как связаны квартили и медиана?

Медиана это второй квартиль, он же P50. Первый квартиль это медиана нижней половины данных, третий медиана верхней. Поэтому все три показателя всегда идут в одном порядке и вместе описывают, где лежит середина и насколько широко раскинута средняя половина наблюдений.

Сколько ответов нужно, чтобы считать P95?

Ориентировочно сотню, а формальный минимум девятнадцать: при меньшем числе наблюдений функция ПЕРСЕНТИЛЬ.ИСКЛ вообще откажется считать. Причина в том, что хвостовой перцентиль опирается на единичные крайние значения, и на малых данных он скачет от замера к замеру.

Можно ли считать квартили по шкале от 1 до 5?

Можно, но толк небольшой. На пяти возможных значениях границы четвертей попадают в одну и ту же градацию, поэтому Q1 и Q3 часто совпадают, а межквартильный размах вырождается в единицу или ноль. Для шкальных вопросов информативнее доли по вариантам и доля крайних ответов.

Что писать в отчёте, медиану или среднее?

Лучше оба, а рядом квартили. Среднее чувствительно к крупным значениям, медиана к ним равнодушна, и расхождение между ними само по себе полезный сигнал: если среднее заметно выше медианы, значит в данных длинный хвост справа.