Средневзвешенное значение

Центральный филиал получил среднюю оценку 7,8, северный 6,0, южный 4,2. Если сложить их и разделить на три, выйдет 6,0, хотя по всем 540 анкетам у сети 7,3: в центральном филиале анкет в 14 раз больше, чем в южном.

Что такое средневзвешенное значение

Средневзвешенное считают так: каждое значение умножают на его вес, произведения складывают и делят на сумму весов. Весом бывает число ответов, важность критерия или доля группы среди тех, кого изучают.

В учебниках статистики средневзвешенное называют средней арифметической взвешенной, в отличие от простой, где все значения равноправны. По-английски пишут weighted mean или weighted average, а в Google Таблицах функция так и называется: AVERAGE.WEIGHTED. При одинаковых весах результат совпадает с обычным средним арифметическим.

Формула и пример расчёта

Средневзвешенное = Σ(w × x) / Σw

Здесь x это значения, w их веса, Σ знак суммы по всем значениям. Веса годятся в процентах, долях или штуках: раз формула делит на их сумму, важны только пропорции. Веса 40 и 60 дадут тот же итог, что 0,4 и 0,6 или 2 и 3.

Как считать индекс CSI по критериям

Возьмём индекс удовлетворённости из пяти критериев. Клиенты оценили каждый от 1 до 10, а веса взяты из вопроса о том, что для них важнее всего.

1. Умножьте оценки на веса. Цена 6,4 × 35 = 224, качество 8,3 × 25 = 207,5, доставка 7,1 × 20 = 142, поддержка 8,8 × 12 = 105,6, сайт 9,1 × 8 = 72,8.
2. Сложите произведения. 224 + 207,5 + 142 + 105,6 + 72,8 = 751,9.
3. Сложите веса. 35 + 25 + 20 + 12 + 8 = 100.
4. Разделите первую сумму на вторую. 751,9 / 100 = 7,52.

Простое среднее тех же пяти оценок 7,94. Разница в 0,42 балла набежала из-за цены: у неё и самый большой вес, и самая низкая оценка.

Как посчитать по таблице и в Excel

В опросах вес чаще всего задаёт число ответов. Допустим, на вопрос «Оцените доставку от 1 до 5» ответили 200 человек:

Оценка	Ответов
5	80
4	60
3	30
2	20
1	10

Средняя оценка здесь и есть средневзвешенное: значения это баллы шкалы, веса это число ответов. Считаем: (5 × 80 + 4 × 60 + 3 × 30 + 2 × 20 + 1 × 10) / 200 = 780 / 200 = 3,9. Так же решаются задачи из учебников вида «по данным таблицы вычислите средневзвешенное значение».

В Excel оценки кладут в столбец B, число ответов в столбец C, по строкам со второй по шестую.

1. Сумма произведений. =СУММПРОИЗВ(B2:B6;C2:C6) перемножает строки попарно и складывает, выходит 780.
2. Сумма весов. =СУММ(C2:C6) даёт 200.
3. Итог. Разделите первое на второе: 3,9.

Одной формулой это =СУММПРОИЗВ(B2:B6; C2:C6) / СУММ(C2:C6). В английской версии Excel функции называются SUMPRODUCT и SUM, подробности в справке Microsoft.

В Google Таблицах есть готовая функция AVERAGE.WEIGHTED: =AVERAGE.WEIGHTED(B2:B6; C2:C6), первым диапазоном значения, вторым веса. В R тот же расчёт делает weighted.mean(x, w), в Python numpy.average(x, weights=w).

Откуда берутся веса в опросах

• Число анкет. Как в таблице выше или когда сводят средние нескольких групп: филиалов, волн опроса, сегментов. Каждая группа весит столько, сколько в ней анкет.
• Важность. В индексе CSI клиенты оценивают каждый критерий и отдельно говорят, насколько он для них важен. Вес критерия равен его средней важности, делённой на сумму важностей всех критериев. Иногда веса назначает сама компания, и тогда стоит записать, кто и почему их выбрал: от них индекс зависит не меньше, чем от оценок.
• Доля группы. Если какой-то группы в выборке больше, чем среди тех, о ком делают вывод, её ответы учитывают с весом меньше единицы, а ответы недобранных групп, наоборот, с весом больше единицы. Это взвешивание выборки.

Возьмём выборку из 1000 человек, где 70% женщин, хотя среди всех клиентов, по данным CRM, их 52%. Вес каждой женщины 0,52 / 0,70 = 0,743, каждого мужчины 0,48 / 0,30 = 1,6. Довольны сервисом 80% женщин и 60% мужчин. Без весов общий итог 74%, с весами 70,4%, ровно как в выборке с правильной долей женщин: 0,52 × 80 + 0,48 × 60 = 70,4.

За поправку платят точностью. Чем сильнее веса отличаются друг от друга, тем меньше эффективный размер выборки, который считают по формуле Лесли Киша: (Σw)² / Σw². Здесь он 866 вместо 1000, поэтому доверительный интервал у взвешенного итога шире, чем у случайной выборки из тысячи человек.

Чего средневзвешенное не показывает

С чего начать описательный анализ

Разброса. Индекс 7,5 выйдет и при оценках 7 и 8 поровну, и тогда, когда половина ставит 5, а половина 10. Рядом со средним полезно показывать стандартное отклонение или распределение ответов.

Не проверяет оно и сами веса. Формула одинаково аккуратно пересчитает и обоснованные веса, и взятые с потолка. Если веса назначила команда, посчитайте рядом простое среднее: когда два числа сильно расходятся, итог держится на одном-двух тяжёлых критериях, и это лучше увидеть до выводов.

И не видит перекосов по признакам, которых нет в весах. Поправка по полу выравнивает выборку только по полу. Если на опрос откликнулись в основном самые активные клиенты, веса по полу и возрасту этого не исправят, и репрезентативность остаётся под вопросом.

Частые ошибки

Средние групп нельзя просто сложить и разделить на число групп. В примере из начала так выходит 6,0, а по всем анкетам 7,3: южный филиал с 30 анкетами весит в таком расчёте столько же, сколько центральный с 420.

Чинится это весом по числу анкет: (7,8 × 420 + 6,0 × 90 + 4,2 × 30) / 540 = 7,3. Тот же итог даст среднее, посчитанное заново по всем ответам.

• Деление на число значений. Сумму произведений делят на количество значений вместо суммы весов. С весами в процентах это видно сразу: индекс из примера выше вышел бы 751,9 / 5 = 150 баллов по шкале до 10. Опаснее веса около единицы: итог выглядит правдоподобно, хотя всё равно сдвинут.
• Проценты без базы. В марте довольны 60% из 500 опрошенных, в апреле 80% из 100. Среднее двух волн не 70%: довольных 300 + 80 = 380 из 600, это 63,3%.
• Слишком тяжёлые веса. Когда от редкой группы пришло две-три анкеты, вес каждой может дойти до 10, и один человек тянет весь результат. Такие веса обрезают, но надёжнее заранее добрать группу квотами.

Как это сделано в WebAsk

В отчёте WebAsk по каждому вопросу видны число ответов, проценты и средние. Средний балл по шкале там посчитан так же, как в таблице выше: баллы взвешены числом ответов, так что пересчитывать его вручную не нужно. Сравнить средние групп без формул помогает умная аналитика: она делит респондентов на группы по другому вопросу и сравнивает их средние. Ответы целиком выгружаются в XLSX, CSV или SPSS.

Для расчётов с весами на сайте есть три калькулятора:

• калькулятор взвешенного балла считает по той же формуле, веса вводятся в процентах или долях и не обязаны давать в сумме 100;
• в калькуляторе CSI веса берутся из средней важности критериев, задаются компанией или делаются равными, а индекс выходит в процентах от максимума шкалы;
• калькулятор весов выборки подбирает веса по долям групп и показывает дизайн-эффект с эффективным размером выборки, а обрезать веса советует до диапазона от 0,3 до 3.

Коротко

• Формула Σ(w × x) / Σw, веса годятся в любых единицах: значение имеют только их пропорции.
• При одинаковых весах средневзвешенное равно простому среднему.
• Средний балл по вопросу со шкалой и есть средневзвешенное баллов с весом по числу ответов.
• Средние групп и доли из разных волн сводят с весом по числу анкет, иначе итог врёт.
• Взвешивание выборки сокращает её эффективный размер до (Σw)² / Σw².

Вопросы и ответы

Как посчитать средневзвешенное значение?

Перемножьте значения с их весами, сложите результаты и поделите на сумму весов. Например, оценки 6,4 и 8,3 с весами 35 и 25 дают (6,4 × 35 + 8,3 × 25) / 60 = 7,19.

Как посчитать средневзвешенное в Excel?

Значения положите в один столбец, веса в соседний и наберите =СУММПРОИЗВ(B2:B6; C2:C6) / СУММ(C2:C6). СУММПРОИЗВ перемножает пары и складывает их, СУММ даёт сумму весов. В Google Таблицах то же самое считает функция AVERAGE.WEIGHTED.

Чем средневзвешенное отличается от среднего арифметического?

В простом среднем у всех значений равный голос, в средневзвешенном у каждого свой. Если веса одинаковы, числа совпадают. Чем сильнее различаются веса и чем дальше тяжёлые значения от остальных, тем больше разница: в примере с индексом 7,94 против 7,52.

Должны ли веса в сумме давать 100% или единицу?

Нет. Итог зависит только от соотношения весов: 35, 25 и 40 дают то же, что 0,35; 0,25 и 0,4 или 7, 5 и 8. Делить на 100 вместо суммы весов можно, лишь когда веса точно складываются в 100.

Может ли средневзвешенное выйти за пределы самих значений?

Нет, если веса неотрицательные и хотя бы один больше нуля: итог всегда лежит между наименьшим и наибольшим значением. Если результат вышел за эти пределы, в расчёте ошибка, чаще всего деление не на ту сумму.

Что взять весами в опросе?

Зависит от задачи. Чтобы свести средние групп, берут число анкет в каждой. Для индекса из нескольких критериев берут важность, которую назвали сами клиенты. А если выборка должна отражать всех клиентов, долю группы среди клиентов делят на её долю в выборке.