Коэффициент корреляции Спирмена (ро, Spearman's rho)

Коэффициент Спирмена измеряет, насколько согласованно две величины меняются по порядку: растёт одна, растёт ли вместе с ней вторая. В расчёт идут не сами значения, а места, которые они занимают в очереди.

Что показывает коэффициент Спирмена

Показатель обозначают греческой буквой ро (ρ), реже пишут r_s, и он лежит в диапазоне от минус единицы до единицы. Единица означает, что порядок совпал полностью: кто выше по первой переменной, тот выше и по второй. Минус единица означает идеально обратный порядок. Ноль означает, что в порядке никакой согласованности нет.

Ключевое слово в определении это монотонная связь, а не линейная. Пирсону нужно, чтобы точки укладывались в прямую линию. Спирмену достаточно, чтобы связь шла в одну сторону, а с какой скоростью, ему безразлично. Поэтому Спирмен видит связь там, где зависимость изогнута, и остаётся спокойным там, где одно наблюдение улетело далеко от остальных.

Общая логика измерения связи описана в карточке про корреляционный анализ, а разбор линейного случая с примерами есть в статье про корреляцию Пирсона.

Откуда взялось название

Коэффициент предложил Чарльз Спирмен в 1904 году в работе о измерении связи между двумя признаками. По профессии он был психологом и занимался измерением интеллекта, а не статистикой ради статистики: ему нужно было сопоставлять школьные оценки и результаты тестов, то есть данные, где расстояние между баллами условно, а порядок осмыслен. Из этой задачи и вырос метод, который сначала переводит наблюдения в ранги.

Тот же Спирмен известен работами по факторному анализу, поэтому в литературе рядом попадаются два разных его вклада, и путать их не стоит: ранговая корреляция это про связь двух переменных, факторный анализ про скрытые общие причины у многих переменных.

Что такое ранг

Ранг это номер значения в отсортированном списке. Выстроили шесть брендов по среднему баллу доверия от меньшего к большему, и самый низкий получил ранг 1, самый высокий ранг 6. То же делается со второй переменной, и дальше сравниваются только эти номера.

Из этого следует главное свойство метода: расстояния между значениями исчезают. Баллы 4,6 и 4,1 отличаются на полдесятого, а баллы 4,1 и 2,5 на полтора, но в рангах и там, и там будет шаг на единицу. Спирмен сознательно жертвует этой информацией, чтобы избавиться от влияния масштаба и от власти отдельных крупных значений.

Отдельный случай это совпадения. Если два бренда получили одинаковый балл, каждому дают средний ранг: не 4 и 5, а по 4,5 обоим. В опросах такое встречается постоянно, особенно на шкале Лайкерта, где всего пять градаций на сотни респондентов, и совпадений будет больше, чем различий.

Как считается ро

Когда совпадений нет, работает короткая формула: ρ = 1 − 6 × Σd² / (n × (n² − 1)), где d это разность рангов одного и того же объекта по двум переменным, а n число объектов. Сумма квадратов разностей это единственное, что нужно посчитать руками.

На примере видно, как это устроено. Шесть брендов, у каждого средний балл доверия из опроса и доля повторных покупок из статистики продаж. Ранги почти совпадают, разности маленькие, сумма квадратов равна четырём, и ро получается 0,886.

С совпадениями короткая формула перестаёт быть точной, и тогда считают по-другому: переводят значения в ранги и берут от этих рангов обычный коэффициент Пирсона. Расхождение обычно небольшое, на шести наблюдениях с одной парой совпадений это 0,871 против 0,868, но на матричных вопросах с пятью градациями связанных рангов будет много, и правильный путь только второй. Именно так работает и калькулятор Спирмена: он переводит столбцы в ранги и считает по ним.

Когда ранги честнее значений

Два случая объясняют, зачем метод вообще нужен, и оба легко проверить на своих данных.

Первый случай, связь есть, но Пирсон её недооценивает. Порядок соблюдён идеально: каждое следующее наблюдение выше предыдущего по обеим переменным. Но растёт вторая переменная неравномерно, к концу резко ускоряется. Пирсон даёт 0,67, потому что прямой линии не получается, а Спирмен даёт ровно 1,00, потому что порядок безупречен. Правильный ответ здесь спирменовский: связь действительно жёсткая.

Второй случай, связи нет, но Пирсон её выдумывает. Семь наблюдений разбросаны без всякой системы, и к ним добавлено одно, где обе величины разом велики. Одна такая пара вытягивает Пирсона до 0,97, хотя в остальных данных ничего нет. Спирмен даёт 0,32, потому что для него эта пара всего лишь последняя в очереди, а не значение в тридцать раз больше среднего.

Отсюда практическое правило. Если в данных есть аномальные значения или переменная измерена порядковой шкалой, ранговый коэффициент надёжнее. Если обе переменные числовые, распределены ровно и связь ожидается прямой, привычный Пирсон даёт более чувствительный результат.

Как читать полученное число

Сначала знак: плюс означает согласованный порядок, минус обратный. Дальше величина. Пороговые ориентиры у ро и у Пирсона одинаковые, и разбор с числами есть в статье про корреляцию, поэтому повторять шкалу здесь смысла нет.

Важнее третий шаг, про который забывают. Само значение ро ничего не говорит о том, случайно оно получилось или нет: это отдельная проверка. Для ро считают p-значение или сравнивают с критическим значением из таблицы, и на маленьких выборках порог оказывается неожиданно высоким. При шести наблюдениях критическое значение на уровне 0,05 равно 0,886, то есть наш пример из диаграммы попал ровно на границу и уверенным выводом не является. При семи наблюдениях порог падает до 0,786, при десяти до 0,648. Вывод про статистическую значимость без этой проверки не делается.

Чего Спирмен не показывает

• Причинность. Согласованный порядок не означает, что одна переменная двигает другую. За обеими может стоять третья, и никакой коэффициент это не различит.
• Насколько сильно меняется величина. Ранги стирают расстояния, поэтому по ро нельзя сказать, что рост доверия на балл даёт столько-то процентов повторных покупок. Такие ответы даёт регрессия, а не корреляция.
• Немонотонную связь. Если зависимость сначала растёт, а потом падает, ро окажется около нуля, и это не ошибка: у такой связи просто нет единого направления. Классический пример из опросов это удовлетворённость и стаж работы, где недовольны и новички, и самые опытные.
• Наличие проблем в данных. Устойчивость к выбросам это не повод их не искать. Ранговый коэффициент не сломается от одной странной строки, но саму строку всё равно надо посмотреть глазами: часто это опечатка при вводе или невнимательный респондент.
• Совпадение с Пирсоном. Если ро и обычный коэффициент разошлись сильно, это сигнал разобраться в данных, а не повод выбрать то число, которое больше нравится.

Спирмен, Пирсон и тау Кендалла

Коэффициент	Что измеряет	Когда берут
Пирсон (r)	линейную связь по самим значениям	числовые данные без выбросов
Спирмен (ро)	монотонную связь по рангам	порядковые шкалы, выбросы, изогнутая связь
Тау Кендалла	долю согласованных пар наблюдений	малые выборки и много совпадающих рангов
V Крамера	силу связи в таблице частот	оба признака категориальные, порядка нет

Спирмен и тау Кендалла отвечают на близкие вопросы и почти всегда согласны в выводе, но тау устойчивее на выборках из десятка наблюдений и аккуратнее обходится со связанными рангами. Значения при этом не совпадают: тау обычно ниже ро на тех же данных, поэтому сравнивать их между собой нельзя. Если оба признака вообще не имеют порядка, например регион и выбранный тариф, ранги теряют смысл, и тогда работают хи-квадрат и V Крамера.

Где это встречается в опросах

Три типовых сценария, в которых ранговый коэффициент оказывается на своём месте.

• Шкала против шкалы. Два вопроса по пятибалльной шкале, например удовлетворённость скоростью доставки и готовность заказать снова. Данные порядковые, и рассуждение «от четвёрки до пятёрки такое же расстояние, как от единицы до двойки» на них не опирается. Ранги от этого допущения избавляют.
• Оценка против внешнего показателя. Средняя оценка сервиса по филиалам против выручки или числа жалоб. Филиалов обычно единицы или десятки, и один крупный филиал легко перетягивает обычный коэффициент на себя. Ранги ставят все филиалы в равные условия.
• Согласованность двух ранжирований. Два сегмента расставили варианты по важности, или два эксперта разложили одни и те же формулировки по приоритету. Ро здесь отвечает на вопрос, насколько порядки похожи. Правда, если экспертов больше двух, нужен не ро, а показатели межэкспертной надёжности.

Во всех трёх случаях число само по себе ещё не вывод. Ро говорит «порядок согласован», а решение принимается по картинке и по содержанию вопросов, ведь согласованность двух ответов часто означает лишь то, что респондент отвечал на оба одинаково, не вчитываясь.

Как это сделано в WebAsk

Данные для ро дают два вопроса, где есть порядок: шкальные оценки, матрицы, ранжирование вариантов. Подойдёт и связка «оценка из опроса против числа из вашей системы», как в примере выше с долей повторных покупок. Ответы выгружаются в Excel или CSV, два столбца подставляются в калькулятор корреляции Спирмена парами по строке. Рядом лежит калькулятор Пирсона, и на порядковых данных полезно посчитать оба: сильное расхождение сразу показывает, что в данных есть либо выбросы, либо нелинейность.

Проверить на своих ответах это можно без бюджета: конструктор WebAsk собирает шкальные вопросы на бесплатном тарифе, а дальше хватит двух столбцов из выгрузки.

Частые вопросы

Что показывает коэффициент Спирмена простыми словами?

Насколько согласованно два показателя меняются по порядку. Если респонденты, поставившие высокую оценку удобству, ставят высокую оценку и скорости, коэффициент будет близок к единице. Считается он не по самим оценкам, а по местам в очереди, поэтому его не сбивают ни масштаб, ни отдельные крупные значения.

Можно ли сравнивать ро между двумя исследованиями?

Можно, если в обоих считали одинаково и переменные измерены той же шкалой. Два ограничения. На выборках меньше двадцати наблюдений ро сильно дрожит от случая к случаю, и разница 0,55 против 0,64 между волнами скорее всего ничего не значит. И нельзя сравнивать ро с тау Кендалла: на одних и тех же данных тау почти всегда ниже.

Как посчитать ро вручную?

Проставьте ранги по каждой переменной, найдите для каждого объекта разность рангов, возведите разности в квадрат и сложите. Дальше подставьте сумму в формулу ρ = 1 − 6 × Σd² / (n × (n² − 1)). Если в данных есть одинаковые значения, короткая формула даст приблизительный ответ, и правильнее считать корреляцию Пирсона по рангам.

Что делать со шкалой Лайкерта?

Ранговый коэффициент к ней применим, и это его типичная область. Но помните, что на пяти градациях и большой выборке связанных рангов будет очень много, поэтому считать надо через ранги с усреднением, а не короткой формулой. При десятках совпадений на каждую градацию имеет смысл посмотреть и тау Кендалла.

Может ли Спирмен быть равен единице, если точки не на прямой?

Да, и это главное отличие метода. Достаточно, чтобы порядок совпадал: если каждое следующее наблюдение выше предыдущего по обеим переменным, ро будет равно единице, даже если график выглядит как изогнутая кривая. Пирсон на тех же данных окажется заметно ниже.

Какое значение считается значимым?

Зависит от размера выборки, и на малых данных порог высокий. При шести наблюдениях значимым на уровне 0,05 будет только ро от 0,886, при семи от 0,786, при десяти от 0,648. Поэтому красивое значение на восьми респондентах ничего не доказывает, его нужно проверять.

Что если Спирмен и Пирсон сильно разошлись?

Это полезный сигнал, а не проблема выбора. Пирсон выше означает, что его вытянуло одно-два крайних наблюдения. Спирмен выше означает, что связь есть, но она не прямая. В обоих случаях стоит посмотреть на график и на сами данные, прежде чем писать вывод в отчёт.