Ящик с усами (box plot)

Пациенты двух филиалов ждут приёма в среднем по 20 минут. Ящик с усами показывает, что в одном долго ждут почти все, а в другом половина проходит за 12 минут, и среднее раздувает дюжина ожиданий от 51 до 98 минут.

Что такое ящик с усами

Ящик с усами рисует коробку от первого до третьего квартиля, в ней черту медианы, а усы тянет к самым дальним ответам в пределах полутора межквартильных размахов.

Другие названия: диаграмма размаха, коробчатая диаграмма, boxplot. Полосу с медианой и квартилями описала Мэри Элинор Спир в 1952 году, а усы и отдельные точки для выбросов добавил Джон Тьюки в книге «Разведочный анализ данных» 1977 года. Через год Тьюки с соавторами описал варианты: ящики разной ширины и с насечками для сравнения медиан.

Из чего он состоит

• Ящик. Тянется от первого квартиля Q1 до третьего Q3, и внутри лежит половина всех ответов. Его длина это межквартильный размах.
• Черта внутри ящика. Медиана: половина ответов меньше, половина больше.
• Усы. Доходят до самого дальнего ответа, который отстоит от края ящика не больше чем на 1,5 межквартильного размаха.
• Точки за усами. Ответы дальше этой границы, их принято считать выбросами.

Как провести дескриптивный анализ

В примере 90 пациентов одного филиала ответили, сколько минут ждали приёма. Q1 = 10, медиана 13, Q3 = 16, межквартильный размах 6 минут. Верхняя граница выбросов 16 + 1,5 × 6 = 25 минут: ус доходит до 24, а четыре ответа от 27 до 33 стоят отдельными точками. Нижняя граница 10 − 9 = 1 минута, ответов ниже нет, поэтому ус кончается на самом коротком ожидании, 4 минутах.

Как читать

• Где медиана в ящике. Черта ближе к левому краю и длинный правый ус значат скос вправо: большинство ответов небольшие, а редкие большие тянут хвост. Так обычно выглядят время ожидания, суммы покупок и время прохождения анкеты. На картинке выше левый ус короче правого, от 4 до 10 минут против 16–24, и за правым ещё четыре точки.
• Ширина ящика. Узкий ящик говорит, что ответы похожи друг на друга. Широкий, что середина размазана.
• Сколько точек за усами. Немного их даже у аккуратных данных: у нормального распределения за усы выходит около 0,7% значений, то есть одна точка на полторы сотни. Десяток точек на сотню ответов уже говорит о длинном хвосте или о второй группе внутри данных.

Как построить

1. Найдите квартили. Отсортируйте ответы и возьмите Q1, медиану и Q3. В Excel это функция КВАРТИЛЬ.ВКЛ.
2. Посчитайте межквартильный размах. IQR = Q3 − Q1.
3. Отложите границы. Нижняя Q1 − 1,5 × IQR, верхняя Q3 + 1,5 × IQR.
4. Проведите усы. До самого маленького и самого большого ответа внутри границ. Всё, что снаружи, отметьте точками.

В Excel 2016 и новее график строится сам: Вставка → Вставить статистическую диаграмму → «Ящик с усами». В параметрах ряда выбирают, как считать квартили, с включением медианы или без, и на маленьких выборках от этого меняются границы ящика. Крестиком внутри ящика Excel отмечает среднее (его включают в настройках ряда), а медиана там черта. Там же можно включить внутренние точки, и поверх ящика появятся все ответы. Подробности в справке Microsoft и в карточке про перцентили и квартили.

• R. boxplot(wait ~ branch, data = d) рисует ящики по группам.
• Python. plt.boxplot(...) из matplotlib или sns.boxplot(...) из seaborn.

Как сравнивать группы

Ящики удобно ставить рядом на одной оси: медианы, разброс и выбросы видно сразу у всех групп. Средние при этом лучше отмечать отдельным значком, чтобы черту медианы никто не принял за среднее.

У «Юга» и «Запада» среднее одинаковое, 20 минут. Но ящик «Юга» стоит правее остальных: медиана 20, Q1 17, Q3 23, долго ждут почти все, и разбираться надо с потоком пациентов. У «Запада» медиана 12, как у «Севера», а среднее раздувают 12 ожиданий от 51 до 98 минут: это отдельные сбои, и искать их надо по дням и врачам.

Чтобы прикинуть, различаются ли медианы, у ящиков рисуют насечки: медиана ± 1,58 × IQR / √n. По документации R это примерно 95%-й интервал для разницы медиан: если насечки двух ящиков не перекрываются, медианы, скорее всего, различаются. У «Юга» выходит 20 ± 1,0, у «Запада» 12 ± 0,8, насечки далеко друг от друга. Строгая проверка того же вопроса это критерий Манна–Уитни.

Чего ящик с усами не показывает

• Форму внутри ящика. На картинке у обеих групп квартили 42,2, 48,7 и 54,2, а во второй посередине почти никого: люди разделились на два лагеря. Ящик этого не видит, поэтому поверх него рисуют точки или рядом гистограмму. Есть и гибрид, скрипичная диаграмма (violin plot): по бокам ящика рисуют контур распределения, и две горки видны сразу.
• Сколько было ответов. Ящик по 8 ответам выглядит так же уверенно, как по 800. Под каждым ящиком стоит подписать n.
• Почему ответ попал в выбросы. Точка за усом просто далеко от середины. Опечатка это, накрутка или честный редкий случай, решают по самой анкете: об этом статья про выбросы в опросах.

Частые ошибки

• Ящик для шкалы от 1 до 5. У пяти значений квартили слипаются: ящик от 3 до 4 с медианой на краю ничего не объясняет. Ответы по шкале Лайкерта лучше показывать столбиками с долями.
• Усы без пояснения. В одних программах усы идут до минимума и максимума, в других до 1,5 межквартильного размаха, в третьих до 5-го и 95-го перцентиля. Под графиком пишут, какое правило взято.
• Выбросы стирают не глядя. 12 долгих ожиданий в «Западе» и есть главная находка опроса.
• По ящикам сравнивают средние. Черта в ящике это медиана. Если важны средние, их отмечают отдельно, как ромбы на картинке выше.

Как это сделано в WebAsk

Какой график выбрать для опроса

Числа для ящика с усами собирают вопросом «Числовой ответ»: он принимает только цифры, так что «минут пятнадцать» или «долго» в данные не попадут. Для оценки по диапазону подойдёт «Ползунок» с заданными минимумом, максимумом и шагом. Сравнивать группы помогает фильтр по вопросу-разрезу или по скрытой переменной, например по филиалу, а ответы выгружаются в XLSX, CSV или SPSS.

Квартили одной выборки сразу считает калькулятор медианы и перцентилей WebAsk: по Q1, медиане и Q3 ящик дорисовывается в любой программе.

Коротко

• Коробка от Q1 до Q3 держит середину ответов, черта внутри это медиана.
• Усы идут до крайних ответов в пределах 1,5 межквартильного размаха, остальное выбросы.
• Положение медианы и длина усов показывают скос: время и деньги обычно скошены вправо.
• Главная польза в сравнении групп на одной оси; насечки помогают прикинуть разницу медиан.
• Форму, число ответов и причины выбросов ящик не показывает: рядом нужны точки или гистограмма и подпись n.

Вопросы и ответы

Что показывает ящик с усами?

Медиану, середину данных между первым и третьим квартилем, разброс крайних ответов и выбросы. По одному графику видно, где центр, насколько ответы разбросаны и есть ли скос. Особенно удобно сравнивать так несколько групп на одной оси.

Как построить ящик с усами в Excel?

В Excel 2016 и новее выделите данные и выберите Вставка → Вставить статистическую диаграмму → «Ящик с усами». Excel сам посчитает квартили, усы и отметит выбросы. В более старых версиях график собирают вручную из накопительной линейчатой диаграммы по пяти числам: минимуму, Q1, медиане, Q3 и максимуму.

Как определить выбросы на ящике с усами?

Посчитайте межквартильный размах IQR = Q3 − Q1 и отложите границы Q1 − 1,5 × IQR и Q3 + 1,5 × IQR. Ответы за этими границами рисуют точками, это и есть выбросы. Опечатка ли это или честный редкий случай, решают по анкете.

Как читать ящик с усами?

Черта внутри ящика это медиана, сам ящик вмещает половину ответов, усы показывают крайние значения без выбросов. Если медиана ближе к одному краю ящика, а противоположный ус длиннее, данные скошены в сторону длинного уса.

Чем ящик с усами отличается от гистограммы?

Гистограмма показывает форму распределения: одна горка, две или ровный ряд. Ящик с усами сжимает данные до пяти чисел и выбросов, зато несколько групп на одной оси сравниваются с одного взгляда. Для одной выборки полезно смотреть оба графика.

Когда ящик с усами не подходит?

Для шкал с пятью-семью значениями: квартили слипаются, и ящик ничего не объясняет. Для очень маленьких выборок, где лучше показать сами точки. И когда важна форма, например две группы мнений: ящик её прячет.